[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3]

Виды теорем

В математике любое утверждение не являющееся аксиомой доказывается с помощью логических рассуждений, исходя из аксиом, определений и уже доказанных утверждений. То, что доказывается, называется теоремой. В любой теореме можно выделить две части: условие и заключение.
Условие теоремы - то, что в ней задано как известное.
Заключение - то, что необходимо доказать на основании условия.
Доказательство состоит в том, чтобы установить что заключение является логическим следствием условия. Как правило условие и следствие есть предикаты, заданные на некотором множестве T . Будем обозначать предикат условия P(x), предикат заключения Q(x). Тогда любую теорему можно записать как логическое следование:
P(x) → Q(x), xT
Пример 1: если натуральные a и b делятся на c, то (a+b) делятся на c.
P(x)≡(a, b, c N; a::c; b::c)
Q(x)≡(a+b)::c
P(x) → Q(x)
Пример 2: Среди простых чисел нет наибольшего.
P(x)≡x - простое число
Q(x)≡ x' x'>x & Q(x') - существует простое x', большее x
Пример 3: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Если плоский четырехугольник - ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
T - множество плоских четырехугольников.
P(x) - (x - ромб)
Q(x) - (диагонали x перпендикулярны)
Пусть P(x) и Q(x) - предикаты, заданные на множестве T . Образуем из них 4 теоремы.

1. P(x) → Q(x) - прямая теорема
2. Q(x) → P(x) - обратная теорема
3. ¬P(x) → ¬ Q(x) - противоположная теорема
4. ¬ Q(x) → ¬ P(x) - противоположная обратной теорема.

Теоремы (1,2), (3,4) - взаимно обратные.
Теоремы (1,3), (2,4) - взаимно противоположные.
Пример 4:
P(x) ≡ (точка x лежит на биссектрисе угла)
Q(x)≡(точка x равно удалена от сторон угла)

1. P(x)→Q(x) - прямая теорема (И)
2. Q(x) → P(x) - обратная теорема (И)
3. ¬ P(x) → ¬ Q(x) - противоположная теорема (И)
4. ¬ Q(x) → ¬P(x) - противоположная обратной теорема (И).

Пример 5: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом или если плоский четырехугольник - ромб, то его диагонали перпендикулярны.

1. P(x) → Q(x) - прямая теорема (И)
2. Q(x) → P(x) - обратная теорема (Л)
3. ¬ P(x) → ¬ Q(x) - противоположная теорема (Л)
4. ¬ Q(x) → ¬P(x) - противоположная обратной теорема (И).

   

Из истинности прямой теоремы не следует истинность обратной. Но одновременно взаимообратные теоремы не могут быть ложными, хотя могут быть одновременно истинными.
Теоремы 1 и 4, 2 и 3 принимают одинаковое истинностное значение т. е. истинность или ложность одной из них влечет истинность или ложность другой. Это используется при доказательстве теорем.
(a → b) ↔ (¬ b → ¬a)
¬(a → b)↔ ¬( ¬ b → ¬a)
(¬ a → ¬ b) ↔ (b → a)
Это лежит в основе доказательства от противного
Пример 6: Две различные прямые на плоскости пересекаются не более чем в одной точке.
Заменяем теорему на противоположную обратной (1 на 4): Если две прямые на плоскости имеют более одной точки пересечения, то они совпадают.
Пример 7: В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы
P(x) ≡ треугольник прямоугольный.
Q(x) ≡ сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы
¬ Q(x) → ¬ P(x)

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3]