Задачи линейного программирования.
1. Для откорма крупного рогатого скота используется два вида
кормов b1 и b2, которые входят питательные
вещества a1, a2, a3 и a4.
Содержание количеств единиц питательных веществ в одном килограмме
каждого корма, стоимость одного килограмма корма и норма содержания
питательных веществ в дневном рационе животного представлены в таблице.
Составьте рацион при условии минимальной стоимости.
2. Из пункта А в пункт В ежедневно отправляются пассажирские и скорые
поезда. Данные об организации перевозок приведены в табл.
| Поезда | Количество вагонов в поезде |
|---|
| багажный | почтовый | Плацкарт |
купейный | мягкий |
|---|
| Скорый | 1 | 1 | - | 6 |
3 |
|---|
| Пассажирский | 1 | - | 8 | 4 |
1 |
|---|
| Число пассажиров |
- | - | 58 | 40 | 32 |
|---|
| Парк вагонов | 12 | 8 | 81 | 70 |
26 |
|---|
Сколько должно быть сформировано скорых и пассажирских поездов, что бы
перевезти наибольшее количество пассажиров.
3. Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката в количествах:
400 тыс.л, 200 тыс. л, 300 тыс.л и 100 тыс.л соответственно.
В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях
образуется три сорта бензина:
бензин А-2:2:3:2,
бензин В-3:1:2:1,
бензин С-2:2:1:3.
Стоимость 1 тыс.л указанных сортов бензина характеризуется числами
120 у.д.е., 100 у.д.е., 150 у.д.е.
Составить план выпуска разных сортов авиационного бензина
из условия получения максимальной стоимости всей продукции.
4.
Фермер выращивает рожь, пшеницу и кукурузу на трех земельных участках
площадью 6, 8 и 9 га.
Средняя урожайность в центнерах на 1 га
по массивам указана в табл.
| Посевы | Массивы |
|---|
| I | II | III |
|---|
| Рожь | 12 | 14 | 15 |
|---|
| Пшеница | 14 | 14 | 22 |
|---|
| Кукуруза | 30 | 35 | 25 |
|---|
Средняя стоимость 1ц ржи 2 у.д.е., 1 ц пшеницы - 2,8 у.д.е.,
1ц кукурузы - 1,7 у.д.е.
Сколько гектаров и на каких массивах следует отвести на каждую культуру,
чтобы получить максимальную выручку, если имеется предварительный заказ
на поставку 2т ржи, 20т пшеницы и 30т кукурузы?
5. При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед. белков,
не менее 8 ед. углеводов и не менее 11 ед. протеина. Для составления рациона
используют два вида корма. В табл. указана структура корма.
| Питательные вещества |
Количество единиц питательных веществ на 1 кг |
|---|
| корма 1 | корма 2 |
|---|
| Белки |
3 | 1 |
|---|
| Углеводы | 1 | 2 |
|---|
| Протеин |
1 | 6 |
|---|
Стоимость 1 кг корма первого вида - 4 у.д.е., второго - 6 у.д.е. Составить
дневной рацион питательности, имеющий минимальную стоимость.
6. Хозяйство располагает следующими ресурсами: площадь -100 единиц,
труд - 120 единиц, тяга - 80 единиц. Хозяйство производит четыре вида
продукции П1, П2, П3, П4.
Организация производства
характеризуется табл.
| Продукция | Затраты на единицу продукции |
Доход от единицы продукции |
|---|
| площадь | Труд | Тяга |
|
|---|
| П1 | 2 | 2 | 2 | 1 |
|---|
| П2 | 3 | 1 | 3 | 4 |
|---|
| П3 | 4 | 2 | 1 | 3 |
|---|
| П4 | 5 | 4 | 1 | 5 |
|---|
Составить план выпуска продукции, обеспечивающей хозяйству максимальную
прибыль.
7. Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовления
трансформаторов обоих видов используется железо и проволока. Общий запас
железа - 3 т, проволоки - 18 т. На один трансформатор пе
рвого вида расходуется 5 кг железа и 3 кг проволоки, а на один трансформатор
второго вида расходуется 3 кг железа и 2 кг проволоки. За каждый реализованный
трансформатор первого вида завод получает прибыль 3 у.д.е., второго - 4 у.д.е.
Составить план выпуска трансформаторов, обеспечивающих заводу максимальную
прибыль.
8. Совхоз отвел три земельных массива размером 5000, 8000, 9000 га
на посевы ржи, пшеницы, кукурузы. Средняя урожайность в центнерах на 1 га
по массивам указана в табл.
| Посевы | Массивы |
|---|
| I | II | III |
|---|
| Рожь | 12 | 14 | 15 |
|---|
| Пшеница | 14 | 14 | 22 |
|---|
| Кукуруза | 30 | 35 | 25 |
|---|
За 1 ц ржи совхоз получает 2 у.д.е., за 1 ц пшеницы - 2,8 у.д.е., за 1 ц
кукурузы - 1,4 у.д.е. Сколько гектаров и на каких массивах совхоз должен
отвести на каждую культуру, что бы получить максимальную выручку, если по
плану он обязан сдать не менее 1900 т ржи, 158 000 т пшеницы и 30000 т
кукурузы?
9. Три типа самолетов следует распределить между четырьмя авиалиниями.
В табл. приведены данные об организации процесса перевозок.
| Тип самолета | Число самолетов
ед. |
Месячный объем перевозок одним самолетом по авиалиниям, ед. |
Эксплуатационные расходы на 1 самолет по авиалиниям, у.д.е. |
|---|
|
| I | II | III | IV | I | II | III | IV |
|---|
1
2
3 | 50
20
30 | 15
20
35 | 10
25
50 | 20
10
30 | 50
10
45 | 15
70
40 |
20
28
70 | 25
15
50 | 40
45
65 |
|---|
Распределить самолеты по авиалиниям так, чтобы при минимальных суммарных
эксплуатационных затратах перевезти по каждой из четырех авиалиний
соответственно не менее 300, 200, 1000, 500 единиц груза.
10. Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и
кофточек чистую шерсть, силон и нитрон, запасы которых составляют,
соответственно, 800, 400 и 300 кг.
Количество пряжи (кг), необходимое для изготовления 10 изделий,
а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены в таблице.
Составьте план производства изделий, обеспечивающий получение максимальной
прибыли.
11. Из трех продуктов I, II, III составляется смесь. В состав смеси
должно входить не менее 6 ед. химического вещества А, не менее 8 единиц -
В и не менее 12 единиц - С. Структура химических
веществ приведена в табл.
| Продукт |
Содержание химического
вещества в единице продукции |
Стоимость
единицы продукции |
|---|
| А | В | С |
|
|---|
I
II
III | 2
1
3 | 1
2
1,5 | 3
4
2 | 2
3
2,5 |
|---|
Составить наиболее дешевую смесь.
12. В институте проводится конкурс на лучшую стенгазету. Одному
студенту дано следующее поручение:
купить акварельной краски по цене 30 у.д.е. за коробку, цветные карандаши по
цене 20 у.д.е. за коробку, линейки по цене 12 у.д.е., блокноты
по цене 10 у.д.е.
Красок нужно купить не менее трех коробок, блокнотов столько, сколько
коробок карандашей и красок вместе, линеек не более пяти. На покупки
выделяется триста у.д.е.
В каком количестве студент должен купить указанные предметы, чтобы общее
число предметов было наибольшим?
13. При подкормке посевов необходимо внести на 1 га почвы не менее
8 единиц химического вещества А, не менее 21 единиц химического вещества
В и не менее 16 единиц химического вещества С. Фермер закупает комбинированные
удобрения двух видов I и II. В таблице указано содержание количества единиц
химического вещества в 1 кг каждого вида удобрений и цена 1 кг удобрений.
Определите потребность фермера в удобрениях I и II вида на 1 га посевной
площади при минимальных затратах на их приобретение.
14. Цех выпускает три вида деталей А, В, С. Каждая деталь
обрабатывается тремя станками. Организация производства в цехе характеризуется
табл.
| Станок | Длительность обработки детали (мин)
| Фонд времени (час) |
|---|
| А | В | С |
|
|---|
| I | 12 | 10 | 9 | 220 |
|---|
| II | 15 | 18 | 20 | 400 |
|---|
| III | 6 | 4 | 4 | 100 |
|---|
Отпускная цена
за одну деталь | 30 | 32 | 30 |
|
|---|
Составить план загрузки станков, обеспечивающий цеху получение максимальной
прибыли.
15. Предприятие должно выпускать два вида продукции А и В, используя
при этом последовательно четыре станка. Данные о технологическом процессе
указаны в табл.
| Станок | Трудоемкость на единицу продукции
| Фонд времени(час) |
|---|
| А | В |
|
|---|
| 1 | 3 | 3 | 15 |
|---|
| 2 | 2 | 6 | 18 |
|---|
| 3 | 4 | 0 | 16 |
|---|
| 4 | 1 | 2 | 8 |
|---|
Прибыль от
единицы продукции | 2 | 3 |
|
|---|
Составить план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию наибольшую
прибыль.
16. На предприятии для производства запасных частей для автомобилей
используется три вида ресурсов. Выпускается три вида запасных частей.
Организация производства на предприятии характеризуется табл.
| Ресурсы | Расходы материалов на производство
1 запчасти, кг
| Запасы ресурсов, кг |
|---|
| 1 | 2 | 3 |
|---|
| I | 5 | 5 | 2 | 1200 |
|---|
| II | 4 | - | 3 | 300 |
|---|
| III | - | 2 | 4 | 800 |
|---|
| Прибыль от реализации одной з\части (у.д.е.) | 5 |
8 | 6 | |
|---|
Составить план производства запчастей, предприятию максимальную прибыль.
17. На звероферме выращивают черно-бурых лис и песцов. Для обеспечения
нормальных условий их выращивания используют три вида кормов. Количество корма
каждого вида, которое должны получать животные, приведено в таблице. В ней
также указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть
использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.
Составьте план выращивания животных, обеспечивающий максимальную прибыль.
18. Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката:
400 тыс.л алкилата,
250 тыс. л крекинг-бензина,
350 тыс.л бензина прямой перегонки и
100 тыс.л изопентона. В результате смешивания этих четырех компонентов в
разных пропорциях образуется три сорта авиационного бензина:
бензин А-2:3:5:2,
бензин В-3:1:2:1,
бензин С-2:2:1:3.
Стоимость 1 тыс.л указанных сортов бензина характеризуется числами 120 у.д.е.,
100 у.д.е., 150 у.д.е. Составить план выпуска разных сортов авиационного
бензина из условия получения максимальной стоимости всей продукции.
19. Планируется нанесение удара по некоторому объекту тремя различными
видами оружия: оружием А в течении 3 мин, оружием Б в течении 5 мин, оружием
В в течении 4 мин. Возможности средств обеспечения стрельбы таковы, что при
применении оружия А в течение 3 мин., оружия Б в течение 2 мин., оружия В
в течение 4 мин. общее количество залпов не должно превышать 15. При
применении оружия А в течение 2 мин. и оружия В в течение 3 мин. общее
количество залпов не должно превышать 8. Кроме того, для преодоления
противодействия противника необходимо, что бы количество залпов оружием В за
1 мин. было больше чем 5.
Рассчитать темп стрельбы ( количество залпов в 1 мин) всеми видами оружия,
при котором общее количество залпов в ударе будет наибольшим.
20. Имеется 5 ракет и 5 целей. Вероятность поражения цели каждой из
ракет заданы в табл.
| Ракеты | Цели |
|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|
| 1 | 0,12 | 0,02 | 0,50 | 0,43 |
0,15 |
|---|
| 2 | 0.71 | 0,18 | 0,81 | 0,05 | 0,26 |
|---|
| 3 | 0,84 | 0,76 | 0.26 | 0,37 | 0,52 |
|---|
| 4 | 0,22 | 0,45 | 0,833 | 0,81 | 0,65 |
|---|
| 5 | 0,49 | 0,02 | 0,50 | 0,26 | 0,27 |
|---|
Распределить ракеты по целям так, чтобы математическое ожидание числа
пораженных целей было максимальным.
21. Для участия в соревнованиях спортклуб должен выставить команду,
состоящую из спортсменов I и II разрядов. Соревнования проводятся по бегу,
прыжкам в высоту, прыжкам в длину. В беге должны участвовать
5 спортсменов, в прыжках в длину - 8 спортсменов, а в прыжках в высоту -
не более 10. Количество очков, гарантируемых спортсмену каждого разряда по
каждому виду указано в табл.
| Разряд | Бег | Прыжки в высоту | Прыжки в длину |
|---|
| I | 4 | 5 | 5 |
|---|
| II | 2 | 3 | 3 |
|---|
Распределить спортсменов в команду так, чтобы сумма очков команды была
наибольшей, если известно, что в команде I разряд имеют только 10 спортсменов.
22. Предприятию задана месячная программа на изготовление четырех типов
изделий в количествах, соответственно 5000шт., 2000шт., 3000шт., 1800шт.
На предприятии имеется три группы станков с различной производительностью.
Суммарное допустимое время для каждой группы станков составляет соответственно
800, 1000, 1500 ч. Данные о технологическом процессе указаны в табл.
N группы
станков | Нормы времени на изготовление
одного изделия (час) | Издержки на изготовление
одного изделия (у.д.е.) |
|---|
| I | II | III | IV |
I | II | III | IV |
|---|
| 1 | 0,5 | 0,15 | 0,4 | 0,6 | 0,12 |
0,2 | 0,3 | 0,25 |
|---|
| 2 | 0,4 | 0,12 | 0,2 | 0,5 |
0,16 | 0,14 | 0,35 | 0,2 |
|---|
| 3 |
0,42 | 0,14 | 0,35 | 0,45 | 0,17 |
0,25 | 0,4 | 0,3 |
|---|
Распределить изделия по станкам так, чтобы месячная программа была выполнена
при наименьших издержках.
23. Звероферма выращивает черно-бурых лисиц и песцов. На звероферме
имеется 10000 клеток. В одной клетке могут быть либо две лисы, либо 1 песец.
По плану на ферме должно быть не менее
3000 лис и 6000 песцов. В одни сутки каждой лисе необходимо выдавать 4 ед.
корма, а каждому песцу 5 единиц. Ферма ежедневно может иметь не более 56000
единиц корма. От реализации одной шкурки лисы ферма получает прибыль 10 у.д.е.,
а от реализации одной шкурки песца - 6 у.д.е. Какое количество лисиц и песцов
нужно держать на ферме, чтобы получить наибольшую прибыль?
24. Найти оптимальное распределение трех видов механизмов, имеющихся в
количествах 45, 20 и 35 между четырьмя участками работ, потребности которых
соответственно равны 10, 20, 30, 40 при следующей матрице производительности
Вид
механизма | 1 участок | 2 участок |
3 участок | 4 участок |
|---|
| 1 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|
| 2 | 2 | 5 | 3 | 4 |
|---|
| 3 | 1 | 0 | 4 | 2 |
|---|
25. Нефтеперерабатывающий завод получает три полуфабриката
в количествах:
400 тыс.л, 500 тыс. л и 360 тыс.л соответственно.
В результате смешивания этих трех компонентов в разных пропорциях
образуется четыре сорта бензина:
бензин А-2:3:2,
бензин В-5:2:2,
бензин С-4:1:3.
бензин D-6:7:5.
Стоимость 1 тыс.л указанных сортов бензина характеризуется числами
120 у.д.е., 160 у.д.е., 180 у.д.е., 150 у.д.е.
Составить план выпуска разных сортов авиационного бензина
из условия получения максимальной стоимости всей продукции.
26. Из двух сортов бензина образуется две смеси А и В. Смесь А содержит
60% бензина 1-го сорта и 40% - 2-го сорта, смесь В - 80% - 1-го сорта и
20% - 2-го сорта. Цена 1 кг смеси А - 10 у.д.е., а смеси В -12 у.д.е. Составить план образования смесей, при котором будет получен
максимальный доход, если в наличии имеется 50 т бензина 1-го сорта и 30 т -
2-го сорта.
27. Имеется две почвенно-климатические зоны, площади которых
соответственно равны 0,8 и 0,6 млн.га. Данные об урожайности зерновых культур
приведены в табл.
| Зерновые культуры |
Урожайность, (ц / га) | Стоимость 1ц, у.д.е. |
|---|
| 1 зона | 2 зона |
|
|---|
| Озимые | 23 | 25 | 8 |
|---|
| Яровые | 22 | 20 | 7 |
|---|
Определить размеры посевных площадей озимых и яровых культур, необходимые для
достижения максимального выхода продукции в стоимостном выражении.
28.
На трех земельных участках площадью 50, 100 и 80 га выращиваются рожь,
пшеница и кукуруза.
Средняя урожайность в центнерах на 1 га
по массивам указана в табл.
| Посевы | Массивы |
|---|
| I | II | III |
|---|
| Рожь | 12 | 16 | 15 |
|---|
| Пшеница | 14 | 21 | 22 |
|---|
| Кукуруза | 23 | 35 | 31 |
|---|
Средняя стоимость 1ц ржи 2 у.д.е., 1 ц пшеницы - 2,8 у.д.е.,
1ц кукурузы - 1,6 у.д.е.
Сколько гектаров и на каких массивах следует отвести на каждую культуру,
чтобы получить максимальную выручку, если имеется предварительный заказ,
который надо выполнить на поставку 30т ржи, 200т пшеницы и 300т кукурузы?
29. Три типа самолетов следует распределить между четырьмя авиалиниями.
В табл. приведены данные об организации процесса перевозок.
| Тип самолета | Число самолетов
ед. |
Месячный объем перевозок одним самолетом по авиалиниям, ед. |
Эксплуатационные расходы на 1 самолет по авиалиниям, у.д.е. |
|---|
|
| I | II | III | IV | I | II | III | IV |
|---|
1
2
3 | 40
35
25 | 20
15
35 | 20
25
40 | 20
10
30 | 50
10
45 | 15
70
40 |
20
28
70 | 25
15
50 | 40
45
65 |
|---|
Распределить самолеты по авиалиниям так, чтобы при минимальных суммарных
эксплуатационных затратах перевезти по каждой из четырех авиалиний
соответственно не менее 300, 200, 1000, 500 единиц груза.
30. На заводе выпускают изделия четырех типов. От реализации единицы
каждого изделия завод получает прибыль соответственно 2, 1, 3, 5 у.д.е.
На изготовление изделий расходуются ресурсы
трех типов - энергия, материалы, труд. В табл. приведены данные о
технологическом процессе.
| Ресурсы | Затраты ресурсов на единицу изделия
| Запасы ресурсов, ед. |
|---|
| I | II | III | IV |
|
|---|
| Энергия | 2 | 3 | 1 | 2 | 30 |
|---|
| Материалы | 4 | 2 | 1 | 2 | 40 |
|---|
| Труд | 1 | 2 | 3 | 1 | 25 |
|---|
Спланировать производство изделий так, чтобы прибыль от их реализации была
наибольшей.