2. Построение противоположных утверждений.

Пусть дано некоторое математическое утверждение А.
Ему противоположным будет утверждение ¬А.
Логика предикатов позволяет путем равносильных преобразований формулы ¬А придать ей хорошо обозримый вид.
Так, например, определение ограниченной функции дается формулой

Определение неограниченной функции мы получим, беря отрицание этой формулы и проводя равносильные преобразования:

Последняя формула дает не негативное, а положительное определение неограниченной функции.
Из приведенного определения видно, что для построения противоположного утверждения к утверждению, заданному формулой логики предикатов, содержащей все кванторы впереди, необходимо заменить все кванторы на противоположные и взять отрицание от предиката, стоящего под знаком кванторов.
Так, утверждение, что

даст формула:

Особый интерес представляет построение утверждения, отрицающего справедливость некоторой теоремы:

Это будет утверждение:

Следовательно, чтобы доказать, что теорема

неверна, достаточно указать такой элемент х Е, для которого P(х) - истина, a Q(x) - ложь, то есть привести контрпример.

3. Прямая, обратная и противоположная теоремы.

Пара теорем, у которых условие одной является заключением второй, а условие второй является заключением первой, называются взаимно обратными друг другу.
Так, теоремы (1) и (2) , а также (3) и (4) - взаимно обратные теоремы. При этом, если одну из них называют прямой теоремой, то вторая называется обратной.
Пара теорем, у которых условие и заключение одной является отрицанием соответственно условия и заключения другой, называются взаимно противоположными.
Так, теоремы (1) и (3), а также теоремы (2) и (4) являются взаимно противоположными теоремами.
Например, для теоремы “Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником” (1) обратной является теорема “Если четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали равны” (2). Для теоремы (1) противоположной является теорема “Если в четырехугольнике диагонали не равны, то четырехугольник не является прямоугольником” (3), а для теоремы (2) противоположной является теорема “Если четырехугольник не является прямоугольником, то его диагонали не равны” (4).
В рассмотренном примере теоремы (1) и (4) являются одновременно ложными, а теоремы (2) и (3) одновременно истинными. Контрпримером к теореме (1) является равнобочная трапеция.
Ясно, что прямая и обратная теоремы, вообще говоря, не равносильны, то есть одна из них может быть истинной, а другая ложной. Однако легко показать, что теоремы (1) и (4), а также теоремы (2) и (3) всегда равносильны. Действительно,

Из этих равносильностей следует, что, если доказана теорема (1), то доказана и теорема (4), а если доказана теорема (2), то доказана и теорема (3).

4. Необходимые и достаточные условия.

Рассмотрим теорему
Итак, предикат Р(х) → Q(x) является истинным для всех х Е в том и только в том случае, когда множество истинности предиката P(х) содержится в множестве истинности предиката Q(x).

При этом говорят, что предикат Q(x) логически следует из предиката р(х), и предикат Q(x) называют необходимым условием для предиката P(х) , а предикат P(x) - достаточным условием для Q(x). Так, в теореме “Если х - число натуральное, то оно целое” предикат Q(x): "х - число целое” логически следует из предиката P(х): “х - число натуральное”, а предикат “x - число натуральное” является достаточным условием для предиката “х - число целое”.
Часто встречается ситуация, при которой истинные взаимно обратные теоремы

Это, очевидно, возможно при условии, что I_p= I_q. В таком случае из теоремы (1) следует, что условие P(х) является достаточным для Q(x), а из теоремы (2) следует, что условие P(x) является необходимым для Q(x). Таким образом, если истинны теоремы (1) и (2), то условие р(x) является и необходимым, и достаточным для Q(x). Аналогично в этой случае условие Q(x) является необходимым и достаточным для P(x) .
Иногда вместо логической связки “необходимо и достаточно” употребляют логическую связку “тогда и только тогда”.
Так как здесь истинны высказывания (1) и (2), то истинно высказывание

Рассмотрим примеры.

• Пример 1. Теорема “Если число L делится на 12, то оно делится на 3” истинна. Поэтому здесь делимость числа L на 12 является достаточным условием для делимости числа L на 3, а делимость числа L на 3 является необходимым условием для делимости числа L на 12. В то же время обратная теорема “Если число L делится на 3, то оно делится на 12” не верна. Поэтому делимость числа L на 3 не является достаточным условием делимости числа L на 12, а делимость числа L на 12 не является необходимым условием делимости числа L на 3.
  
• Пример 2. Теоремы “В описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны между собой” и “Если в четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны между собой, то в этот четырехугольник можно вписать окружность” взаимно обратны. Обе они истинны, и, следовательно, здесь можно употребить логическую связку “необходимо и достаточно”:
  “Для того, чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны между собой”.

5. Доказательство методом от противного.

     (1)

не верна, то есть существует такой объект х, что условие р(я) истинно, а заключение q(x) - ложно. Если из этих предположений путем логических рассуждений приходят к противоречивому утверждению, то делают вывод о том, что исходное предположение не верно, и верна теорема (1).
Покажем, что такой подход дает доказательство истинности теоремы (1).
Действительно, предположение о том, что теорема (1) не справедлива, означает истинность формулы

Противоречивое утверждение, которое получается из допущенного предположения, есть конъюнкция С&¬С , где С - некоторое высказывание. Таким образом, схема доказательства от противного сводится к доказательству истинности формулы

Легко видеть, что эта формула равносильна формуле (1).
Действительно,

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3]