[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3]

Множество натуральных чисел N.

Для N основным отношением является " следовать за ", свойства которого описываются с помощью 4x аксиом Пиана:

  1. 1 - есть натуральное число не следующее ни за каким натуральным числом (N имеет начало).
  2. Каждое натуральное число следует за одним и только одним натуральным числом (в N нет повторений).
  3. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число (N - бесконечен).
  4. Аксиома индукции

Пусть М множество натуральных чисел. Если 1 М. Из того что а М следует, что (а+1)М. (Множество содержит число, следующее за произвольным натуральным числом, тогда это множество М - есть множество всех натуральных чисел).

Аксиома индукции лежит в основе метода математической индукции (ММИ).
Этот метод является одним из основных в математике.
Доказательство методом математической индукции состоит из 2 этапов:
  1. Утверждение Q(x) доказывается (проверяется) для конкретного натурального числа (обычно для n=1).
  2. Предполагая, что данное утверждение верно для натурального числа k где k>=1, доказывается, что это утверждение верно для k+1. После этого делается заключение о справедливости Q(x) для любого натурального числа.

Пример 7: Сумма n последовательных натуральных чисел равна полусумме двух крайних членов ряда помноженной на количество чисел.
Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = (n + 1)/2 * n

  1. Пусть n = 1. S1 = 1. S1 = (1 + 1) / 2 * 1 = 1
  2. Предположим, что утверждение справедливо для n = k (k >= 1):

Sk = 1 + 2 + 3 + … + k = (k + 1)/2 * k.
Найдем Sk+1 = 1 + 2 + 3 + … + k + (k +1) = (k + 1)/2 * k + (k +1) = (k +1)(k/2 + 1) = (k +1)(k +2) / 2
Предполагая, что утверждение верно для n = k мы показали, что оно верно для n = k+1. Тогда по ММИ утверждение верно для любого n N.

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3]