[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

Объединение множеств

Объединение Х и У обозначается через X Y. Формальное определение
X Y={x|x X или x Y}.       (7)
Объединение множеств иногда называют суммой множеств и обозначают X+Y. Однако свойства объединения множеств несколько отличаются от свойств суммы при обычном арифметическом понимании, поэтому этим термином мы пользоваться не будем.
Пример 1. Если Х={1, 2, 3, 4, 5} и У={2, 4, 6, 7}, то X Y={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Пример 2. Если X — множество отличников в группе, Y — множество студентов, проживающих в общежитии, то X Y —множество студентов, которые или учатся на отлично, или проживают в общежитии.
Пример 3. Рассмотрим два круга, при веденных на рис. 3. Если Х — множество точек левого круга, Y — множество точек правого круга, то X Y представляет собой заштрихованную область, ограниченную обоими кругами.

Рис. 3. Объединение множеств.

Понятие объединения можно распространить и на большее число множеств. Обозначим через M ={X₁, ..., Х_n} совокупность n множеств Х₁, ..., Х_n, называемую иногда системой множеств. Объединение этих множеств
_n
X_i = X = X₁ . . . X_n      (8)
ⁱ⁼¹
представляет собой множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств системы M. Для объединения множеств справедливы коммутативный и ассоциативный законы
X Y=Y X ;        (9)
(X Y) Z=X (Y Z)=X Y Z       (10)
справедливость которых вытекает из того, что левая и правая части равенств состоят из одних и тех же элементов. Далее,
X = X.       (11)
Это также очевидное соотношение, так как пустое множество не содержит элементов, а значит, Х и Х состоят из одних и тех же элементов. Из (11) видно, что пустое множество играет роль нуля в алгебре множеств. Здесь имеет место аналогия с выражением а+0=а в обычной алгебре.

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]