[Список тем] [Вступление к этой теме] страницы темы: [1] [2] [3] [4]

Примеры задач линейного программирования
Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства).

Задача 1.1

Для изготовления двух видов продукции Р1 и P2 используют четыре вида ресурсов S1, S2, S3 и S4. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в табл. 1.1 (цифры условные). Таблица 1.1 Вид ресурса Запас ресурса Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции P1 Р2 S1 18 1 3 S2 16 2 1 S3 5 - 1 S4 21 3 - Прибыль, получаемая от единицы продукции Р1 и P2 соответственно 2 и 3 руб. Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной. Решение. Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим х1, x2 - число единиц продукции соответственно Р1 и P2, запланированных к производству. Для их изготовления (см. табл. 1.1) потребуется (х1+ 3х2) единиц ресурса S1, (2 х1 + х2) единиц ресурса S2 ,(х2) единиц ресурса S3 и 3 х1 единиц ресурса S4. Так как потребление ресурсов S1, S2, S3 и S4 не должно превышать их запасов, соответственно 18, 16, 5 и 21 единицы, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств: (х1+ 3х2)≤ 18 (2 х1 + х2)≤ 16 х2 ≤ 5 3 х1 ≤ 21         (1.1) По смыслу задачи переменные х1≥ 0, х2 ≥ 0.         (1.2) Суммарная прибыль F составит 2 х1 руб. от реализации продукции Р1 и 3х2 руб. - от реализации продукции Р2, т.е. F=2 х1 + 3х2 → max         (1.3) Итак, экономико-математическая модель задачи: найти такой план выпуска продукции Х= (х1, х2), удовлетворяющий системе (1.1) и условию (1.2), при котором функция (1.3) принимает максимальное значение.

Задачу легко обобщить на случай выпуска n видов продукции с использованием m видов ресурсов.
Обозначим x_j (j = 1, 2, ..., n) - число единиц продукции Р_j запланированной к производству; b_i(i =1, 2, ..., m) - запас ресурса S_i , a_ij - число единиц ресурса S_i, затрачиваемого на изготовление единицы продукции p_j (числа а_ij часто называют технологическими коэффициентами); с_j - прибыль от реализации единицы продукции P_j.

Тогда экономико-математическая модель задачи об использовании ресурсов в общей постановке примет вид: найти такой план Х = (х₁, x₂,..., х_n) выпуска продукции, удовлетворяющий системе:
а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂+...+ а_1n х_n ≤ b₁
а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂+...+ а_2n х_n ≤ b₂
...
а_m1 х₁ + а_m2 х₂+...+ а_mn х_n ≤ b_m         (1.4)
и условию х₁≥ 0,   х₂ ≥ 0,   х_n ≥ 0.         (1.5) при котором функция
F = с₁х₁ + с₂х₂ + ... +с_nх_n         (1.6) принимает максимальное значение.

[Список тем] [Вступление к этой теме] страницы темы: [1] [2] [3] [4] [В начало страницы]