[Список тем] [Вступление к этой теме] страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5]

Количество решений системы уравнений.

Для решения системы (2.1) при условии m < n докажем следующую теорему.

Определение
Теорема 2.1. Если для системы m линейных уравнений с n переменными (m < n) ранг матрицы коэффициентов при переменных равен m, т.е. существует хотя бы одна группа основных переменных, то эта система является неопределенной, причем каждому произвольному набору значений неосновных переменных соответствует одно решение системы.

Пусть, например, x₁, x₂, ..., x_m - основные (если это не так, то нумерацию соответствующих можно изменить), m. е. определитель матрицы

Оставим в левых частях уравнений системы (2.1) члены с переменными x₁, x₂, ..., x_m, а члены с переменными x_m+1, x_m+2,... x_n,перенесем в правые части. Получим
а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂+...+ а_1m х_m = b₁ - a_1,m+1 х_m+1-...- а_1n х_n
а₂₁х₁ + а₂₂ х₂+...+ а_2m х_m = b₂ - a_2,m+1 х_m+1-...- а_2n х_n
 ...
а_m1 х₁ + а_m2 х₂+...+ а_mm х_m = b_m - a_m,m+1 х_m+1-...- а_mn х_n
Задавая неосновным переменным x_m+1, x_m+2,... x_n, произвольные значения, каждый раз будем получать новую систему с новыми свободными членами b'₁, b'₂,..., b'_n. Каждая из полученных систем будет иметь один и тот же определитель следовательно, в силу теоремы Крамера каждая из этих систем будет иметь единственное решение. Так как получаемых таким образом систем бесконечно много, то и система (2.1) будет иметь бесконечное множество решений.

[Список тем] [Вступление к этой теме] страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5] [В начало страницы]