[Список тем] [Вступление к этой теме] страницы темы: [1] [2] [3] [4]

Экономическая интерпретация двойственных задач.

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной или сопряженной по отношению к исходной. Теория двойственности оказалась полезной для проведения качественных исследований задач линейного программирования.

Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов.
Ранее рассмотрена задача об использовании ресурсов (экономико-математическая модель и содержательная интерпретация этой задачи I представлены в левой части табл. 6.1). В приведенной модели b_i (i = 1, 2, ..., m) обозначает запас ресурса S_i , a_ij - число единиц ресурса S_i потребляемого при производстве единицы продукции P_j(j = 1, 2, ..., n); C_j - прибыль (выручка) от реализации единицы продукции Pj (или цена продукции Pj).
Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы S₁, S₂, ..., S_m предприятия и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы у₁, у₂, ..., y_m
Очевидно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на все ресурсы Z в количествах b₁, b₂, ..., b_m по ценам соответственно у₁, у₂, ..., y_m были минимальны, т.е
Z = b₁у₁ + b₂ у₂ + ... + b_m у_m min .
С другой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не менее той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию. На изготовление единицы продукции Р₁ расходуется a₁₁ единиц ресурса S₁, a₂₁ единиц ресурса S₂, ..., a_i1 единиц ресурса S_i ..., а_m1 единиц ресурса S_m по цене соответственно у₁, у₂, ..., у_i ..., y_m. Поэтому для удовлетворения требований продавца затраты на ресурсы, потребляемые при изготовлении единицы продукции Р₁ должны быть не менее ее цены c₁, т.е.
a₁₁ у₁ + a₂₁ у₂ +...+ a_m1 у_m≥ c₁
Аналогично можно составить ограничения в виде неравенств по каждому виду продукции Р₁, Р₂, ..., Р_m. Экономико-математическая модель и содержательная интерпретация полученной таким образом двойственной задачи II приведены в правой части табл. 6.1.

Задача I (исходная)

Задача II (двойственная)

F=c1x1+c2x2+...+cnxnmax                              (6.1) при ограничениях a11x1 + a12x2+...+ a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2+...+ a 2nxn ≤ b2                              ...                              (6.2) am1x1 + am2x2+...+ amnxn ≤ bm и условии неотрицательности x1≥ 0; x2≥ 0;... xn≥ 0 Составить такой план выпуска продукции Х = (х1, х2, ..., хn), при котором прибыль (выручка) от реализации продукции будет максимальной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов.

Z=b1y1+b2y2+...+bmym min                              (6.4) при ограничениях a11у1 + a21у2+...+ am1уm ≥ c1 a12у1 + a22у2+...+ am2уm ≥ c2                              ...                              (6.5) a1nу1 + a2nу2+...+ amnуm ≥ cn и условии неотрицательности. y1≥ 0; y2≥ 0;... ym≥ 0 Найти такой набор цен (оценок) ресурсов Y = (у1, y2, ..., уm), при котором общие затраты на ресурсы будут минимальными при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли (выручки) от реализации этой продукции

Цены ресурсов у₁, у₂, ..., у_m в экономической литературе получили различные названия: учетные, неявные, теневые. Смысл этих названий состоит в том, что это условные, "ненастоящие" цены. В отличие от "внешних" цен c₁, с₂, ..., c_n на продукцию, известных, как правило, до начала производства, цены ресурсов у₁, у₂, ..., у_n являются внутренними, ибо они задаются не извне, а определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их чаще называют оценками ресурсов.

[Список тем] [Вступление к этой теме] страницы темы: [1] [2] [3] [4] [В начало страницы]