[Список тем] [Вступление к этой теме] страницы темы: [1] [2] [3] [4]

Свойства двойственных задач.

Рассмотрим формально две задачи I и II линейного программирования, представленные в табл. 6.1, абстрагируясь от содержательной интерпретации параметров, входящих в их экономико-математические модели. Обе задачи обладают следующими свойствами:
1. В одной задаче ищут максимум линейной функции, в другой - минимум.
2. Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой.
3. Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида "≤", а в задаче минимизации - все неравенства вида "≥".
4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу:
для задачи I A =

для задачи II А' = 

5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.
6. Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.
Две задачи I и II линейного программирования, обладающие указанными свойствами, называются симметричными взаимно двойственными задачами. В дальнейшем для простоты будем называть их просто двойственными задачами.
Исходя из определения, можно предложить следующий алгоритм составления двойственной задачи.
1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу: если в исходной задаче ищут максимум линейной функции, то все неравенства системы ограничений привести к виду "≤", а если минимум - к виду "≥". Для этого неравенства, в которых данное требование не выполняется, умножить на -1.
2. Составить расширенную матрицу системы А₁, в которую включить матрицу коэффициентов при переменных А, столбец свободных членов системы ограничений и строку коэффициентов при переменных в линейной функции.
3. Найти матрицу А'₁, транспонированную к матрице А₁.
4. Сформулировать двойственную задачу на основании полученной матрицы A'₁ и условия неотрицательности переменных.

[Список тем] [Вступление к этой теме] страницы темы: [1] [2] [3] [4] [В начало страницы]