[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3]

Равносильные формулы логики предикатов

Здесь, как в алгебре высказываний, для равносильных формул принято обозначение A ≡ В.
Ясно, что все равносильности алгебры высказываний будут верны, если в них вместо переменных высказываний подставить формулы логики предикатов. Но, кроме того, имеют место равносильности самой логики предикатов. Рассмотрим основные из этих равносильностей. Пусть A(х) и В(х) - переменные предикаты, а С - переменное высказывание. Тогда

Равносильность 1 означает тот простой факт, что, если не для всех х истинно A(х), то существует х, при котором будет истиной ¬A(х).
Равносильность 2 означает тот простой факт, что, если не существует х, при котором истинно A(х) , то для всех х будет истиной ¬A(х).
Равносильности 3 и 4 получаются из равносильностей 1. и 2. соответственно, если от обеих их частей взять отрицания и воспользоваться законом двойного отрицания.
Докажем равносильность 5. Если предикаты A(х) и В(х) одновременно тождественно истинные, то будет тождественно истинным и предикат А(х)&В(х), а поэтому будут истинными высказывания:
хА(х), xB(x), x[A(x)&B(x)]
То есть в этом случае обе части равносильности 5 принимают значение “истина”.
Пусть теперь хотя бы один из предикатов, например, A(х), будет не тождественно истинным. Тогда не тождественно истинным будет и предикат A(х) & B(x) , a поэтому ложными будут высказывания
xA(x), xA(x)&xB(x), x[A(x)&B(x)],
то есть и в этом случае обе части равносильности 5 принимают одинаковые (ложные) значения. Этим исчерпывается доказательство равносильности 5.
Докажем равносильность 8. Пусть переменное высказывание С принимает значение “ложь”. Тогда тождественно истинным будет предикат С B(x) и, очевидно, истинными будут высказывания С xB(x) и x[ С B(x)],
то есть в этом случае обе части равносильности 8 принимают одинаковые (истинные) значения.
Пусть теперь переменное высказывание С принимает значение “истина”. Если при этом переменный предикат является тождественно истинным, то будет тождественно истинным и предикат С В(х), и, значит, истинными будут высказывания xВ(x), С xB(x) , x[C B(x)] , то есть и в этом случае обе части равносильности 8 принимают одинаковые (истинные) значения.
Если же предикат B(х) не является тождественно истинным, то не будет тождественно истинным и предикат С B(x) , а поэтому ложными будут высказывания
хВ(х), CxB(x), x[C B(x)].
Следовательно, и здесь обе части равносильности 8 принимают одинаковые (ложные) значения. Этим исчерпывается доказательство равносильности 8.
Аналогично доказывают остальные из перечисленных равносильностей.
В заключение отметим, что формула x[A(x) В(x)] не равносильна формуле xA(x) xB(x), а формула x[A(x)&B(x)] не равносильна формуле хА(х)& хВ(х). Однако, справедливы равносильности

---

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3]