[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]

Понятие функционала

Говоря об отображении f : X Y как о функции с вещественными значениями, мы не накладывали на характер элементов множества Х каких-либо особых ограничений. В простейших задачах множество X , как и множество Y, представляет собой множество вещественных чисел. Каждая пара (х, y) f ставит в соответствие одному вещественному числу х другое вещественное число у. Однако важным для практики является случай, когда множество Х представляет собой множество функций, а множество Y - множество вещественных чисел. Этот случай приводит к понятию функционала, подробное рассмотрение которого удобно провести на примере.
Представим себе некоторую линию y = f(x), соединяющую фиксированные точки А и В, как показано на рис. 15, по которой скатывается свободно движущийся шарик. Обозначим через t время, которое шарик затратит
 

Рис. 15. Линия наискорейшего спуска

на перемещение из точки A в точку В. Это время зависит от характера линии АВ, т. е. от вида функции f(x).Если обозначить через F(x) множество различных функций, изображающих линию АВ, через Т множество вещественных чисел t , определяющих время движения шарика, то зависимость времени движения от вида функции может быть записана как отображение
J:F(x) T. (27)
Элементами множества J будут пары (f(x), t), в которых f(x) F(x), a t T. В этом случае говорят, что вещественное число t T представляет собой функционал J от функции f(x) F(x), записывают это в виде
t = J[f(x)]. (28)
В задачах управления функционалы используются как критерии качества управления. Так, в рассмотренном примере время перемещения шарика из точки А в точку В можно трактовать как критерий “качества” выбранной функции f(x). При этом говорят об оптимальном управлении как о таком, при котором соответствующий критерий качества обращается в минимум. С этой точки зрения определение “оптимального” вида функции f(x) сводится к выполнению условия
min J [f{x)],   (29)
^{f F}
при котором время t будет минимальным. В математике подобная линия наискорейшего спуска получила название брахистохроны.

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]