[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]

Отношение эквивалентности

Некоторые элементы множества можно рассматривать как эквивалентные в том случае, когда любой из этих элементов при некотором рассмотрении может быть заменен другим. В этом случае говорят, что данные элементы находятся в отношении эквивалентности. Примерами отношений эквивалентности являются: отношение “быть на одном курсе” на множестве студентов факультета; отношение “иметь одинаковый остаток при делении на З” на множестве натуральных чисел; отношение параллельности на множестве прямых плоскости; отношение подобия на множестве треугольников и т. п.
Для того чтобы дать четкую формулировку отношения эквивалентности, будем считать, что термин “отношение эквивалентности” применяется только в случае, если выполняются следующие три условия:
каждый элемент эквивалентен самому себе;
высказывание, что два элемента являются эквивалентными, не требует уточнения, какой из элементов рассматривается первым и какой вторым;
два элемента, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой. Примем для обозначения эквивалентности символ . Тогда общее определение эквивалентности получим, записав три вышеприведенных условия в виде следующих соотношений:
х х (рефлексивность);
х у у х (симметричность);
x y и y z x z (транзитивность).
Таким образом,

Определение
отношение G называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение эквивалентности находится в тесной связи с разбиением множества .
Пусть Х - множество, на котором определено отношение эквивалентности. Например, X- множество студентов курса, а отношением эквивалентности является отношение “быть в одной группе”. Подмножество элементов, эквивалентных некоторому элементу х Х, будем называть классом эквивалентности. Так, группа, в которой учится студент Иванов, будет классом эквивалентности, эквивалентным студенту Иванову.
Пусть J - некоторое множество индексов. Обозначим через {A_j X\j J} множество классов эквивалентности для множества X. Очевидно, что все элементы одного класса эквивалентности эквивалентны между собой (свойство транзитивности) и всякий элемент х Х может находиться в одном и только в одном классе. Но таком случае Х является объединением непересекающихся множеств А_j, так что полная система классов {A_jX\J J} является разбиением множества X. Таким образом, каждому отношению эквивалентности на множестве Х соответствует некоторое разбиение множества на классы А_j.
Отношение эквивалентности на множестве Х и разбиение этого множества на классы называют сопряженными, если для любых х и у из Х отношение х у выполняется тогда и только тогда, когда х и у принадлежат к одному и тому же классу A_j, этого разбиения. Более четкому уяснению связи отношения эквивалентности с разбиением множества поможет сравнение примеров данного раздела с примерами из разбиения множества.
В качестве общего символа отношения эквивалентности используют знак . Однако для отдельных частных отношений эквивалентности применяют другие знаки:  =   - для обозначения равенства, || -параллельности,     ↔ -логической эквивалентности.

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]