[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4]

Основные определения

Понятие множества является фундаментальным неопределяемым понятием.

Определение
Под множеством будем понимать совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое.

Можно говорить о множестве стульев в комнате, людей, живущих в г. Рязани, студентов в группе, о множестве натуральных чисел, букв в алфавите, состояний системы и т. п. При этом о множестве можно вести речь только тогда, когда элементы множества различимы между собой. Например, нельзя говорить о множестве капель в стакане воды, так как невозможно четко и ясно указать каждую отдельную каплю.
Отдельные объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества. Так, число 3—элемент множества натуральных чисел, а буква б—элемент множества букв русского алфавита.
Общим обозначением множества служит пара фигурных скобок { }, внутри которых перечисляются элементы множества. Для обозначения конкретных множеств используют различные прописные буквы A, S, X... или прописные буквы с индексами А1, А2. Для обозначения элементов множества в общем виде используют различные строчные буквы а , s, х ... или строчные буквы с индексами а1, а2 ... Для указания того, что некоторый элемент а является элементом множества S, используется символ принадлежности множеству. Запись a S означает, что элемент а принадлежит множеству S, а запись xS означает, что элемент х не принадлежит множеству S.
Записью х1, х2, ..., x_n S пользуются в качестве сокращения для записи x₁ S, x₂ S, . . ., x_n S.
Множества бывают конечными и бесконечными.

Определение
Множество называют конечным, если число его элементов конечно, т. е. если существует натуральное числоN, являющееся числом элементов множества. Множество называют бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов.

Для того, чтобы оперировать с конкретными множествами, нужно уметь их задавать. Существуют два способа задания множеств: перечисление и описание. Задание множества способом перечисления соответствует перечислению всех элементов, составляющих множество. Так, множество отличников группы можно задать, перечислив студентов, которые учатся на отлично, например {Иванов, Петров, Сидоров}. Для сокращения записи X={x₁, х₂, ..., x_n} иногда пишутX={х_i}₁ⁿ или вводят множество индексов i={1, 2,...,n}и пишут X={x_i}, i I. Такой способ удобен при рассмотрении конечных множеств, содержащих небольшое число элементов, но иногда он может применяться и для задания бесконечных множеств, например {2, 4, 6, 8 ... }. Естественно, что такая запись применима, если вполне ясно, что понимается под многоточием.
Описательный способ задания множества состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества. Так, если М—множество студентов группы, то множество А отличников этой группы запишется в виде
A={x M | x — отличник группы},
что читается следующим образом: множество А состоит из элементов х множества М, обладающих тем свойством, что х является отличником группы. В тех случаях, когда не вызывает сомнений, из какого множества берутся элементы х, указание о принадлежности множеству М можно не делать. При этом множество А запишется в видеА={х | х - отличник группы}.
Приведем несколько примеров задания множеств методом описания:
{х | х — четное} — множество четных чисел;
{х | х² — 1= 0} - множество{+1, —1}.
Пусть С — множество целых чисел. Тогда {х С | 0 < х 7} есть множество {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Важным понятием теории множеств является понятие пустого множества.

Определение
Пустым множеством, называют множество, не содержащее ни одного элемента.

Пустое множество обозначается , например:
{х С | х² - х+1=0} =
Понятие пустого множества играет очень важную роль при задании множеств с помощью описания. Так, без понятия пустого множества мы не могли бы говорить о множестве отличников группы или о множестве вещественных корней квадратного уравнения, не убедившись предварительно,есть ли вообще в данной группе отличники или имеет ли данное уравнение вещественные корни. Введение пустого множества позволяет совершенно спокойно оперировать с множеством отличников группы, не заботясь о том, есть или нет в рассматриваемой группе отличники.
Пустое множество будем условно относить к конечным множествам. Рассмотрим теперь вопрос о равенстве множеств.

Определение
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. представляют собой одно и то же множество.
Множества Х и Y не равны (X Y),если либо в множестве Х есть элементы, не принадлежащиеY, либо в множество Y есть элементы, не принадлежащие X.

Символ равенства множеств обладает свойствами:

• Х=Х —рефлексивность;
• если X = Y, то Y = X — симметричность;
• если X = Y и Y = Z, то X = Z —транзитивность.

Из определения равенства множеств вытекает, что порядок элементов в множестве несуществен.
Так, например, множества {3, 4, 5, 6} и {4, 5, 6, 3} представляют собой одно и то же множество. Из определения множества следует, что в нем не должно быть неразличимых элементов. Поэтому в множестве не может быть одинаковых элементов. Запись{2, 2, 3, 5} следует рассматривать как некорректную и заменить ее на {2, 3, 5}. Так, множество простых делителей числа 60 равно {2, 3, 5}.

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4]