[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4]

Понятие подмножества

Определение
Множество Х является подмножеством множестваY, если любой элемент множества Х принадлежит и множествуY

Пусть Y—множество студентов группы, а Х— множество отличников той же группы. Так как каждый отличник группы является в то же время студентом этой группы, то множество Х является подмножеством множества Y.
Многие определения теории множеств удобно давать в виде математических выражений, содержащих некоторые логические символы. Для определения подмножества используем два таких символа.
- символ, называемый квантором общности и означающий любой, каков бы ни был, "для всех";
- символ следствия (импликации), означающий "влечет за собой". Определение подмножества, которое может быть сформулировано в виде: для любого x утверждение "x принадлежит X" влечет за собой утверждение "x принадлежит У", запишется так:

(1)

Более краткой записью выражения "X является подмножеством У"будет запись

(2)

что читается как "У содержит X". Используемый здесь символ означает включение. Если желают подчеркнуть, что У содержит и другие элементы, кроме элементов из X, то используют символ строгого включения :
Х У . (3)
Связь между символами и дается выражением
Х У X У и Х У . (4)
Здесь использован знак , означающий эквивалентность (в смысле “то же самое, что”). Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающие из его определения:
X X (рефлексивность);
[X Y и Y Z] X Z (транзитивность).
Несколько труднее видеть, что для любого множества М
M. (5)
Действительно, пустое множество не содержит элементов. Следовательно, добавляя к М пустое множество, мы фактически ничего не добавляем. Поэтому всегда можно считать, что любое множество Мсодержит в себе пустое множество в качестве подмножества.

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4]