Верхняя и нижняя границы множества

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4]

Верхняя и нижняя границы множества

Имея дело с множеством вещественных чисел, можно сравнивать элементы этого множества по их значению и, в частности, находить наибольший и наименьший элементы множества. Для конечных множеств, заданных перечислением, эта задача не представляет труда. Так, для множества Т={4, 3, 5, 6} имеем max Т=6, min Т=3. Однако если множество задано описательным способом, например указано лишь правило вычисления числовых значений его элементов, то задача определения наибольшего и наименьшего элементов становится весьма трудной. Несколько более легкой задачей является нахождение лишь области, внутри которой лежат все элементы множества. При решении этой задачи очень полезными являются понятия верхней и нижней границ множества.

Пусть S - множество вещественных чисел.

Определение

Верхней границей S является число С такое, что для любого x S имеет место x С.

Определение
Верхней границей S является число С такое, что для любого x S имеет место x С.

Чисел, которые могут рассматриваться в качестве верхней границы множества, может быть бесконечно много, а может и не быть вообще. Так в множестве m < S < M любое С М является верхней границей. Множество всех целых чисел не имеет верхней границы.

Определение

Точной верхней границей или супремумом множества S, обозначаемой sup S, называют верхнюю границу, которая не превосходит любую другую верхнюю границу.

Определение
Точной верхней границей или супремумом множества S, обозначаемой sup S, называют верхнюю границу, которая не превосходит любую другую верхнюю границу.

В приведенном выше примере sup S=M. Множество может иметь только одну точную верхнюю границу, так как еслиC₁ и С₂ -две такие границы, то C₁C₂ и C₂C₁ и, следовательно C₁=C₂.

Определение

Нижней границей множества S является число с такое, что для любого x S имеет место x с.

Точной нижней границей или инфинумом множества S, обозначаемой inf S, называют нижнюю границу, не меньшую любой другой нижней границы.

Определение
Нижней границей множества S является число с такое, что для любого x S имеет место x с.
Точной нижней границей или инфинумом множества S, обозначаемой inf S, называют нижнюю границу, не меньшую любой другой нижней границы.

В приводимом примере inf S = m .

Теорема 2.2. (теорема о верхней и нижней границах подмножества)

Если В A, то Inf B inf A; sup sup A. (2.6)

Доказательство. Обозначим через b' элемент множества В, имеющий наименьшее значение, т. е. b' B и b'= inf B. Но BA, т. е. b' A. Пусть а'-элемент множества А, имеющий наименьшее значение, т. е. а'A и a'=inf A. При этом если b'=а', тоb'=inf А, если b' a', то b' >a'= inf A. Таким образом, b' inf A или inf B inf A.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Теорема 2.2. (теорема о верхней и нижней границах подмножества)
Если В A, то Inf B inf A; sup sup A. (2.6)

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4]