Кортеж - это совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Сами элементы при этом называют компонентами кортежа (первая компонента, вторая компонента и т. д.). При меры кортежей: множество людей, стоящих в очереди; множество слов в фразе; числа, выражающие долготу и широту точки на местности и т. п. Во всех этих множествах место каждого элемента является вполне определенным и не может быть произвольно изменено.
В технических задачах эта определенность часто является просто предметом договоренности. Так, только договоренностью можно объяснить, почему долготу ставят на первое место, а широту на второе. Состояние кибернетической системы часто описывают множеством параметров, принимающих числовые значения. При этом состояние системы - просто некоторое множество чисел. Чтобы не оговаривать каждый раз, какое число что означает, устанавливают заранее, какой параметр считать первым, какой вторым и т. д., т. е. совокупность параметров представляют в виде упорядоченного множества. Так, если обозначить через h высоту самолета, а через v - его скорость, то кортеж x=(h, u) будет описывать состояние самолета.
Число элементов кортежа называют его длиной. Для обозначения кортежа используем круглые скобки. Так, множество
a=(a1, a2, ..., an) (38)
является кортежем длины n с элементами a1, ..., an. Кортежи длиной 2 называют парами или упорядоченными парами, кортежи длиной 3-тройками, 4-четверками и т. д. В общем случае кортежи длиной n называют n-ками. Частным случаем кортежа является кортеж (а) длиной 1 и пустой кортеж длиной 0, обозначаемый ( ) или
. В отличие от
обычного множества в кортеже могут быть и
одинаковые элементы: два одинаковых слова в
фразе, одинаковые числовые значения долготы и
широты точки на местности и т. п.В дальнейшем будем рассматривать упорядоченные множества, элементами которых являются вещественные числа. Такие упорядоченные множества называют точками пространства или векторами. Так, кортеж (a1, a2) может рассматриваться как точка на плоскости или вектор, проведенный из начала координат в данную точку (рис. 2.8,а). Компоненты а1 и а2 будут проекциями вектора на оси 1 и 2
Пр1(a1, a2) = a1; Пр2(а1, a2) = a2.
Кортеж (a1, a2, а3) может рассматриваться как точка в трехмерном пространстве или как трехмерный вектор, проведенный из начала координат в эту точку (рис. 2.8,б). Проекции вектора на оси координат
Прi (a1, a2, a3) = ai; i=1, 2, 3.
Однако в данном случае можно говорить о проекции кортежа сразу на две оси, например 1 и 2, т. е. на координатную плоскость. Нетрудно видеть, что эта проекция представляет собой двухэлементный кортеж
Пр12 (a1, a2, a3) = (а1, а2).
Обобщая эти понятия, будем рассматривать упорядоченное n-элементное множество вещественных чисел (a1, ..., an) как точку в воображаемом n-мерном пространстве, называемом иногда гиперпространством, или n-мерным вектором. При этом компоненты n-элементного кортежа а будем рассматривать как проекции этого кортежа на соответствующие оси
Прi а = аi, (i = 1, …, n). (39)
Если i, j, ..., l - номера осей, причем 1
i<j<…l n,
то проекция кортежа а на оси i, j, ..., l будетПрi, j …, l а = (аi, аj, ..., al). (40)