[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4]

Прямое произведение множеств

Определение
Прямым произведением множеств Х и Y называют множество, обозначаемое X x Y и состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству X , а вторая — множеству Y

Таким образом, элементами прямого произведения являются двухэлементные кортежи вида (х, у). Формальное определение
X x Y = { (х, у) | хХ, yY}. (41)
Пример 10. Пусть X={1, 2}, Y={1, 3, 4}. Тогда X x Y ={(1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4)} . Геометрическое представление этого множества приведено на рис. 9,а .
Пример 11. Пусть Х и Y—отрезки вещественной оси. Прямое произведение X x Y изобразится заштрихованным прямоугольником ( рис. 9,б). Из этого рисунка следует, что свойства прямого произведения

Рис. 9. Геометрическая иллюстрация прямого произведения множеств

отличаются от свойств обычного произведения в арифметическом смысле. В частности, прямое произведение изменяется при изменении порядка сомножителей, т. е.
X x Y ≠ Y x X (42)
Операция прямого произведения легко распространяется и на большее число множеств.

Определение
Прямым произведением множеств X1, Х2, ..., Хr называют множество, обозначаемое X1x X2x … x Xr и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины r , первая компонента которых принадлежит X1 , вторая- Х2 и т. д.

Частным случаем операции прямого произведения является понятие степеней множества. Пусть М—произвольное множество. Назовем s -й степенью множества М и обозначим через М^S прямое произведение s одинаковых множеств, равных М:
М^S= М x  М x   …  x M. (43)
     
                s раз
Это определение пригодно для s=2, 3... Его можно расширить на любое целое неотрицательное s , если специальными определениями положить
M¹ = M, M⁰ = {}. (44)
Если R—множество вещественных чисел, то R² = R x R представляет собой вещественную плоскость, а   R³ = R x R x R — трехмерное вещественное пространство.
Проекция множества
Операция проектирования множества тесно связана с операцией проектирования кортежа и может применяться лишь к таким множествам, элементами которых являются кортежи одинаковой длины.

Определение
Пусть М — множество, состоящее из кортежей длиной s. Тогда проекцией множества М будем называть множество проекций кортежей из М.

Пример 12. Пусть М={( 1, 2, 3, 4, 5), (2, 1, 3, 5, 5), (3, 3, 3, 3, 3), (3, 2, 3, 4, 3)}.
Тогда
Пр₂М={2, 1, 3};
Пр_2,4M={(2, 4), (1, 5), (3, 3)}.
Легко проверить, что если M =Х x У , то
Пр₁ М=X; Пр₂ М=Y, (45)
а если Q X x Y, то
Пр₁QX; Пр ₂Q Y. (46)

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4]