Понятие предиката

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3]

Понятие предиката

В алгебре логики высказывания рассматриваются как нераздельные целые и только с точки зрения их истинности или ложности. Ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание не затрагиваются. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.
Например, в рассуждении “Всякий ромб - параллелограмм; ABCD - ромб; следовательно, ABCD - параллелограмм” посылки и заключение являются элементарными высказываниями логики высказываний и с точки зрения этой логики рассматриваются как целые, неделимые, без учета их внутренней структуры. Следовательно, алгебра логики, будучи важной частью логики, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений.
Всвязи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний, в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать и структуру тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные.
Такой логической системой является логика предикатов, содержащая всю логику высказываний в качестве своей части.

Определение

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально - подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат (буквально - сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).
Субъект - это то, о чем что-то утверждается в высказывании; предикат - это то, что утверждается о субъекте.

Определение
Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально - подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат (буквально - сказуемое, хотя оно может играть и роль определения). Субъект - это то, о чем что-то утверждается в высказывании; предикат - это то, что утверждается о субъекте.

Например, в высказывании ″ 7 ″ - ″ простое число ″, ″ 7 ″ -субъект, ″ простое число ″ - предикат. Это высказывание утверждает, что ″7″ обладает свойством ″быть простым числом”.
Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной x из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму ″ x - простое число ″. При одних значениях х (например, х = 13 , х = 17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х = 10 , х = 18) эта форма дает ложные высказывания.
Ясно, что эта высказывательная форма определяет функцию одной переменной х, определенной на множестве N, и принимающую значения из множества {1,0}.
Здесь предикат становится функцией субъекта и выражает свойство субъекта.

Определение

Одноместным предикатом P(х) называется произвольная функция переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из множества {1,0}.
Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью определения предиката.
Множество всех элементов х М , при которых предикат принимает значение “истина”, называется множеством истинности предиката P(х) , то есть множество истинности предиката P(х) - это множество I_р = {х: х М, P(х) = 1}.
Так, предикат P(х) - "х - простое число" определен на множестве N, а множество I_р для него есть множество всех простых чисел. Предикат Q(x) - “ sin х = 0 ” определен на множестве R, а его множество истинности I_Q = {kπ,k Z(целые)}. Предикат F(x) - “Диагонали параллелограмма х перпендикулярны” определен на множестве всех параллелограммов, а его множеством истинности является множество всех ромбов.
Приведенные примеры одноместных предикатов выражают свойства предметов.

Определение

Предикат P(х) , определенный на множестве М, называется тождественно истинным (тождественно ложным), если I_р = М (I_р = ).
Естественным обобщением понятия одноместного предиката является понятие многоместного предиката, с помощью которого выражаются отношения между предметами.
Примером бинарного отношения (отношения между двумя предметами) является отношение “меньше”. Пусть это отношение введено на множестве Z целых чисел. Оно может быть охарактеризовано высказывательной формой “х<y” , где х,y Z, то есть является функцией двух переменных P(х, у) , определенной на множестве Z х Z с множеством значений {1,0}.

Определение

Двухместным предикатом Р(х,у) называется функция двух переменных х и у, определенная на множестве М = М₁ х М₂ и принимающая значения из множества {1,0}.
В числе примеров двухместных предикатов можно назвать предикаты: Q(х, у) - “ х = у ” предикат равенства, определенный на множестве R² = R х R; р(х, у) - “ х//у ” прямая х параллельна прямой у, определенный на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.
Аналогично определяется n-местный предикат.

Определение
Одноместным предикатом P(х) называется произвольная функция переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из множества {1,0}. Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью определения предиката. Множество всех элементов х М , при которых предикат принимает значение “истина”, называется множеством истинности предиката P(х) , то есть множество истинности предиката P(х) - это множество I_р = {х: х М, P(х) = 1}.

Определение
Предикат P(х) , определенный на множестве М, называется тождественно истинным (тождественно ложным), если I_р = М (I_р = ).

Определение
Двухместным предикатом Р(х,у) называется функция двух переменных х и у, определенная на множестве М = М₁ х М₂ и принимающая значения из множества {1,0}.

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3]