Логические операции над предикатами

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3]

Логические операции над предикатами

Предикат, так же, как высказывания, принимает два значения uстина и ложь (1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.
Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.
Пусть на некотором множестве X определены два предиката P(х) и Q(х).

Определение

Конъюнкцией двух предикатов P(х) и Q(x) называется новый предикат P(х) & Q(х), который принимает значение "истина" при тех и только тех значениях х X, при которых каждый из предикатов принимает значение "истина", и принимает значение "ложь" во всех остальных случаях.
Очевидно, что область истинности предиката P(x)&Q(x) является общая часть областей истинности предикатов P(х) и Q(x), то есть пересечение I_P ∩ I_Q . Tак, например, для предикатов P(х): "х - четное число" и Q(х):"x кратно 3" конъюнкцией P(х)&Q( х)
является предикат "х - четное число и х кратно 3", то есть предикат "х делится на 6".

Определение

Дизъюнкцией двух предикатов P(х) и Q(х) называется новый предикат P(х) Q(х), который принимает значение "ложь" при тех и только тех значениях х X, при которых каждый из предикатов принимает значение "ложь" и принимает значение "истина" во всех остальных случаях.

Определение
Конъюнкцией двух предикатов P(х) и Q(x) называется новый предикат P(х) & Q(х), который принимает значение "истина" при тех и только тех значениях х X, при которых каждый из предикатов принимает значение "истина", и принимает значение "ложь" во всех остальных случаях.

Определение
Дизъюнкцией двух предикатов P(х) и Q(х) называется новый предикат P(х) Q(х), который принимает значение "ложь" при тех и только тех значениях х X, при которых каждый из предикатов принимает значение "ложь" и принимает значение "истина" во всех остальных случаях.

Ясно, что область истинности предиката P(x) Q(x) является объединение областей истинности предикатов P(х) и Q(x), то есть объединение I_pU I_Q.

Определение

Отрицанием предиката P(х) называется новый предикат P(x) , который принимает значение "истина" при всех значениях х X, при которых предикат P(х) принимает значение "ложь", и принимает значение "ложь" при тех значениях х X, при которых предикат P(х) принимает значение "истина".

Определение
Отрицанием предиката P(х) называется новый предикат P(x) , который принимает значение "истина" при всех значениях х X, при которых предикат P(х) принимает значение "ложь", и принимает значение "ложь" при тех значениях х X, при которых предикат P(х) принимает значение "истина".

Из этого определения следует, что I _‾P = X \ I _P = I_P.

Определение

Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P(х) Q(x) , который является ложным при тех и только тех значениях x X, при которых одновременно P(х) принимает значение "истина", а Q(x) - значение "ложь" и принимает значение "истина" во всех остальных случаях.

Определение
Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P(х) Q(x) , который является ложным при тех и только тех значениях x X, при которых одновременно P(х) принимает значение "истина", а Q(x) - значение "ложь" и принимает значение "истина" во всех остальных случаях.

Tак как при каждом фиксированном х X справедлива равносильность P(х) Q(x) ≡ P(x) Q(x) , то I_PQ=I-_PU I_Q= I_PU I_Q

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3]