[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3]

Кванторные операции

Пусть имеется предикат Р(х), определенный на множестве М. Если а - некоторый элемент из множества М, то подстановка его вместо х в предикат P(х) превращает этот предикат в высказывание Р(а). Такое высказывание называется единичным. Наряду с образованием из предикатов единичных высказываний в логике предикатов рассматривается еще две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание.

1. Квантор всеобщности. Пусть P(х) - предикат, определенный на множестве М. Под выражением x Р(х) понимают высказывание, истинное, когда P(x) истинно для каждого элемента x из множества М и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение будет “Для всякого х P(х) истинно”. Символ называют квантором всеобщности.
   Переменную х в предикате P(x) называют свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказывании x р(х) переменную х называют связанной квантором .
   
   
2. Квантор существования. Пусть Р(x) - предикат, определенный на множестве М. Под выражением х P(х) понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент х М, для которого P(х) истинно, и ложным в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение будет: “Существует х, при котором Р(x) истинно”. Символ называют квантором существования. В высказывании х P(x) переменная x связана квантором .
   Приведем пример употребления кванторов. Пусть на множестве N натуральных чисел задан предикат P(х):“Число х кратно 5”. Используя кванторы, из данного предиката можно получить высказывания: x N P(x) - “Все натуральные числа кратны 5”; х N P(х) - “Существует натуральное число, кратное 5”. Очевидно, первое из этих высказываний ложно, а второе истинно.
   Ясно, что высказывание x Р(x) истинно только в том единственном случае, когда P(x) - тождественно истинный предикат, а высказывание x P(х) ложно только в том единственном случае, когда P(х) - тождественно ложный предикат.
   

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат Р(х,у). Применение кванторной операции к предикату Р(х,у) по переменной х ставит в соответствие двухместному предикату Р(х,у) одноместный предикат х Р(х, у) (или одноместный предикат x Р(х,у)), зависящий от переменной у и не зависящий от переменной х. К ним можно применить кванторные операции по переменной у, которые приведут уже к высказываниям следующих видов:
yxP(x,y), yxP(x,y), yxP(x,y), ухР(х,у). Например, рассмотрим предикат P(х,у): “х:у”(x кратно y), определенный на множестве N. Применение кванторных операций к предикату Р(х,у) приводит к восьми возможным высказываниям:

1. ухР(х,у) - “Для всякого у и для всякого х, у является делителем х”.
   
   
2. yxP(x,y) - “Существует у, которое является делителем всякого x”.
   
   
3. ухР(х, у) - “Для всякого у существует х такое, что х делится на у”.
   
   
4. ухР(х, у) - "Существует у и существует х такие, что у является делителем х".
   
   
5. xyP(x,y) - “Для всякого х и для всякого у, у является делителем x”.
   
   
6. хуР(х, у) - “Для всякого х существует такое у, что х делится на y”.
   
   
7. хуР(х,у) - "Существует х и существует у такие, что у является делителем х".
   
   
8. хуР(х,у) - “Существует х такое, что для всякого у, х делится на у”.
   

Легко видеть, что высказывания 1, 5 и 8 ложны, а высказывания 2, 3, 4, 6 и 7 истинны.
Из рассмотренных примеров видно, что в общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания, а значит, и его логическое значение (например, высказывания 3 и 8).
Рассмотрим предикат P(х), определенный на множестве М = {a ₁,a₂,...,a_n}, содержащем конечное число элементов. Если предикат р(х) является тождественно истинным, то истинными будут высказывания P(a₁), P(a₂), ..., P(a_n). При этом истинными будут высказывание x P(x) и конъюнкция P(a₁)& P(a₂)&...&P(a_n).
Если же хотя бы для одного элемента а_k М P(а_k) окажется ложным, то ложными будут высказывание xP(x) и конъюнкция P(a₁)& P(a₂)&...&P(a_n). Следовательно, справедлива равносильность
xP(x) = P(a₁)&P(a₂) &...&P(a_n).
Нетрудно показать, что справедлива и равносильность
x Р(х) = Р(а₁) P(a₂)...P (a_n).
Отсюда видно, что кванторные операции можно рассматривать как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции на случай бесконечных областей.

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3]