[Список тем] [Вступление к этой теме] страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно
соответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений и совпадает,
по крайней мере, с одним из допустимых базисных решений системы ограничений.
Путь решения любой
задачи линейного программирования: перебрать конечное число допустимых
базисных решений системы ограничений и выбрать среди них то, на котором
функция цели принимает оптимальное решение. Геометрически это соответствует
перебору всех угловых точек многогранника решений. Такой перебор в конце
концов приведет к оптимальному решению (если оно существует), однако его
практическое осуществление связано с огромными трудностями, так как для
реальных задач число допустимых базисных решений хотя и конечно, но может
быть чрезвычайно велико.
Число перебираемых допустимых базисных решений можно сократить, если
производить перебор не беспорядочно, а с учетом изменений линейной функции,
т.е. добиваясь того, чтобы каждое следующее решение было "лучше" (или, по
крайней мере, "не хуже"), чем предыдущее, по значениям линейной функции
(увеличение ее при отыскании максимума F
max, уменьшение - при отыскании минимума F
min).
Такой перебор позволяет сократить число шагов при отыскании оптимума.
Поясним это на графическом примере.
Пусть область допустимых решений изображается многоугольником ABCDEGH
(рис. 5.1). Предположим, что его угловая точка А соответствует
исходному допустимому базисному решению. При беспорядочном переборе пришлось
бы испытать семь допустимых базисных решений, соответствующих семи угловым
точкам многоугольника. Однако из чертежа видно, что после вершины А
выгодно перейти к соседней вершине В, а затем - к оптимальной
точке С.
Вместо семи перебрали только три вершины, последовательно улучшая линейную
функцию.
Идея последовательного улучшения решения легла в основу универсального метода
решения задач линейного программирования - симплексного метода.
Симплекс (лат. simplex - простой) - простейший выпуклый многогранник
в n-мерном пространстве с n+1 вершиной (например, тетраэдр в 3-мерном
пространстве)
Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе
от одной вершины многогранника ограничений (называемой первоначальной) к
соседней, в которой линейная функция принимает лучшее (по крайней мере, не
худшее) значение (по отношению к цели задачи) до тех пор, пока не будет
найдено оптимальное решение - вершина, где достигается оптимальное значение
функции цели (если задача имеет конечный оптимум).
Симплексный метод, позволяющий решить любую задачу линейного программирования,
универсален. В настоящее время он используется для компьютерных расчетов,
однако несложные примеры с применением симплексного метода можно решать и
вручную.
Для реализации симплексного метода - последовательного улучшения решения -
необходимо освоить три основных элемента:
- способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного решения
задачи;
- правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению;
- критерий проверки оптимальности найденного решения.
Для использования симплексного метода задача линейного программирования должна
быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть
представлена в виде уравнений.
[Список тем] [Вступление к этой теме] страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [В начало страницы]