[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

Предварительные замечания

Над множествами можно производить действия, которые во многом напоминают действия сложения и умножения в элементарной алгебре. Чтобы лучше разобраться в действиях над множествами, необходимо вспомнить законы, существующие в элементарной алгебре.
Пусть а и b — некоторые числа, a + b — их сумма и аb — их произведение. Сумма и произведение чисел обладают следующими свойствами, называемыми законами алгебры:

1. а + b=b + а; ab=ba — коммутативный или переместительный закон;
2. (a +b)+c=a+(b + c); (ab)c=a(bc) — ассоциативный или сочетательный закон;

3. (a+b)c = ac +bc дистрибутивный или распределительный закон.
Заметим, что в ассоциативном и коммутативном законах можнозаменить действие сложения умножением, а действие умножения сложением. При этом получим другой закон, который будет так же справедлив, как и первый. Однако в дистрибутивном законе подобной симметрии нет. Если в этом законе заменить сложение умножением, а умножение сложением, то придем к абсурду:
(ab) + c=(a + c) (b + c).
Спрашивается, всегда ли это так? Не существует ли алгебры, в которой дистрибутивный закон был бы так же симметричен относительно сложения и умножения, как коммутативный и ассоциативный законы? Оказывается, существует алгебра, а именно алгебра множеств, в которой все три закона симметричны относительно действий сложения и умножения.
Сходство между действиями сложения и умножения проявляется также в существовании двух замечательных чисел (0 и 1) таких, что прибавление первого и умножение на второе не меняют ни одного числа:
a+0=a, a * 1=a
Заметим, что второе соотношение получается из первого заменой (+) на (* ) и 0 на 1. Однако и здесь сходство между действиями сложения и умножения не простирается особенно далеко. Так, число 0 играет несколько особую роль по сравнению со всеми другими числами, в том числе и единицей. Эта особая роль числа 0 вытекает из соотношения а 0=0. Если мы в этом выражении заменим (* ) на (+) и 0 на 1, то приходим к соотношению а+1=1, которое почти никогда не будет верным.
Как мы увидим далее, сходство между нулем и единицей в алгебре множеств будет значительно большим, чем в обычной алгебре.
После этих предварительных замечаний можно приступить к рассмотрению операций над множествами.

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]