[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

Универсальное множество

Как мы видели, роль нуля в алгебре множеств играет пустое множество. Спрашивается, не существует ли множество I, которое будет играть роль единицы, т. е. удовлетворять условию
X I=X (21)
аналогичному условию а*1=а в обычной алгебре.
Соотношение (21) означает, что пересечение или “общая часть” множества I и множества Х для любого множества Х совпадает с самим этим множеством. Но это возможно лишь в том случае, если множество I содержит все элементы, из которых может состоять множество X, так что любое множество Х полностью содержится в множестве I. Множество I, удовлетворяющее этому условию, называют полным или универсальным.
Исходя из сказанного, можно дать следующее определение универсального множества.

Определение
Если в некотором рассмотрении участвуют только подмножества некоторого фиксированного множества I, то это самое большое множество I называют универсальным множеством.

В различных конкретных случаях роль универсального множества могут играть различные множества. Так, при рассмотрении множеств студентов в группе (отличники; студенты, получающие стипендию; студенты, проживающие в общежитии и т. п.) роль универсального множества играет множество студентов в группе.
Универсальное множество удобно изображать графически в виде множества точек прямоугольника. Отдельные области внутри этого прямоугольника будут означать различные подмножества универсального множества. Изображение множества в виде областей в прямоугольнике, представляющем универсальное множество, называют диаграммой Эйлера - Венна.
Универсальное множество обладает интересным свойством, которое не имеет аналогии в обычной алгебре, а именно для любого множества Х справедливо соотношение
Х I=I. (22)
Действительно, объединение ХI представляет собой множество, в которое входят как все элементы множества X, так и все элементы множества I. Но множество I уже включает в себя все элементы множества X, так что ХI будет состоять из тех же элементов, что и, I т. е. представляет собой само универсальное множество I.

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]