[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]

Функция

Рассмотрим некоторое отображение
G : X Y. (17)
Это отображение называют функцией, если оно однозначно, т. е. если для любых пар (x₁y₁) f из x₂=x₁ следует y₂=y₁.
На рис. 1З, а приведен пример отображения, являющегося функцией. Отображение на рис. 13,б функцией не является.
Из определения отображения и из приведенных ранее примеров следует, что элементами множеств Х и У могут быть объекты любой природы. Однако в задачах кибернетики большой интерес представляют отображения, которые являются однозначными и множество значений которых представляет собой множество вещественных чисел R. Однозначное отображение f , определяемое (17), называют функцией с вещественными значениями, если Y R. Понятие функции является чрезвычайно широким, и изучению отдельных классов функций посвящены многие математические дисциплины (алгебра, тригонометрия

и т. п.). Мы рассмотрим только некоторые общие наиболее фундаментальные свойства функции, не касаясь свойств конкретных классов.
Пример 20. Из одного города в другой можно проехать по железной дороге (ж.д.) , автобусом (авт.) или самолетом (сам.). Стоимость билета будет соответственно 7, 9 и 12 руб. Стоимость билета можно представить как функцию от вида транспорта. Для этого рассмотрим множества Х={ ж.д., авт., сам.}. Y ={7, 9, 12}.
Функция f : X Y, получаемая из условий примера, может быть записана в виде множества f={( ж.д., 7), (авт., 9), (сам., 12)}.
Значение у в любой из пар (х, y) f называют функцией от данного х и записывают в виде y=f(x). Такая запись позволяет вести следующее формальное определение функции:
f = {(x, y) X x Y | y = f(x)}. (18)
Таким образом, символ f используют при определении функции в двух смыслах:
f является множеством, элементами которого будут пары (х, у), участвующие в соответствии;
f(х) является обозначением для y У, соответствующего данному х Х.
Формальное определение функции в виде соотношения (18) позволяет установить способы задания функции.
1. Перечисление всех пар (х, у), составляющих множество f , как это было сделано в примере 20. Такой способ задания функции применим, если Х является конечным множеством. Для большей наглядности пары (х, у) удобно располагать в виде таблицы.
2. Во многих случаях как X, так и Y представляют собой множества вещественных или комплексных чисел. В таких случаях очень часто под f(x) понимается формула, т. е. выражение, содержащее перечень математических операций (сложение, вычитание, деление, логарифмирование и т. п.), которые нужно произвести над х Х, чтобы получить у.
Пример 21. Пусть X = Y = R и f = {(x, y) = R²|y = x²} . Тогда f(x) = x²
Иногда для разных подмножеств множества Х функции приходится пользоваться различными формулами. Пусть А₁, ..., A_n - попарно непересекающиеся подмножества X . Обозначим через f_i(x), i = l, ¬ n формулу, определяющую у при х А_i. Тогда функция

(19)

Так, функцию y = f(x) = |x| можно задать в виде

3. Если Х и Y - множества вещественных чисел, то элементы (х, y) f можно изобразить в виде точек на плоскости R². Полная совокупность таких точек будет представить собой график функции f(x).
Если в выражении (69) X=U x V, то приходим к функции от двух переменных u и v , обозначаемой через f(u, v), где u U и v V. Формальное определение функции двух вещественных переменных будет следующим:
f={(u, v, y)} U x V x Y | y = f(u, v)}. (20)
Аналогично определяют функции от трех и большего числа переменных.
Свяжем с функцией еще одно понятие, называемое сужением функции. Пусть f :X Y - произвольная функция и A - произвольное множество. Сужением функции f на множество A называют функцию f_A , содержащую все те и только те пары (х, y) f, в которых х А, а значит, (х, y) A x Y . Следовательно,
f _A =f (A x Y). (21)
Операцию сужения функции часто используют для табличного задания функций с бесконечной областью определения X . В качестве множества A берут обычно выборку равно относящих значений х множества X. Получаемое при этом сужение f_A функции f уже легко представить в виде таблицы. По этому принципу построены таблицы логарифмов, тригонометрических функций и некоторые другие.

---

[Список тем] [Вступление к этой теме] Страницы темы: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]